ინფორმაცია

ძირითადი ნომრების განაწილება


ახლა ჩვენ ჩავატარებთ რიცხვების თეორიის ერთ-ერთ უძველეს და საინტერესო მიმართულებას: ძირითადი ნომრების განაწილება. ამ გამოძიებამ მოხიბლა მამაკაცის გონება კლასიკური ანტიკურ დროიდან: როგორ ხდება ძირითადი ნომრების განაწილება მთელ რიცხვებზე?

პრემიერ რიცხვების განაწილების შესწავლამ შეიმუშავა რთული ცვლადის ფუნქციების თეორია, კერძოდ, მთელი რიცხვების ფუნქციების თეორია. ამ გამოძიების შემუშავებისას, ალგებრის და ანალიზების ღრმა მეთოდები გაჩნდა, მაგრამ ისინი ყოველთვის არ წარმოადგენენ მოსალოდნელ წარმატებას. მეორე მხრივ, ზოგიერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი შედეგის მიღება შეიძლება გასაკვირი მარტივი, მაგრამ ინტელექტუალური მსჯელობით, მაგალითად, ევკლიდის მიერ დემონსტრაციულად დასრულებული ციფრების სიმრავლის უსასრულობის შესახებ.

ჯერ უნდა ვიცოდეთ რა არის მთავარი ნომერი, ციფრული თეორიის ყველა თვალსაზრისით, არსებითი ცნება. მოცემული ორი მთელი რიცხვი, მათი თანხა, მათი განსხვავება და თქვენი პროდუქტი ასევე მთელი რიცხვია. ამასთან, ერთი მთელი რიცხვის სხვაზე გაყოფის კოეფიციენტმა შეიძლება არ გამოიწვიოს მთელი რიცხვი, მაგალითად, მთელი რიცხვის 5 რიცხვის დაყოლებით რიცხვის დაყოფის შედეგი არ არის მთელი რიცხვი. კომპლექტების მშენებლობის მცდელობებმა, რომლებიც გამოიწვევს შედეგს სასურველი ოპერაციების შედეგად, მათემატიკოსებმა რიცხვების კონცეფციის თანმიმდევრული განზოგადებამდე მიიყვანეს. მაგალითად, თუ განვიხილავთ რაციონალური რიცხვების სიმრავლეს, ანუ წილადებს ა / ბსად და არიან მთელი რიცხვები და ¹ 0, ასე რომ, განაწილების კოეფიციენტი ყოველთვის განსაზღვრულია, ანუ (ა / ბ) ¸ (გ/ დ) = (აბ)/(სიდ). ამასთან, მონაცემები მთელი რიცხვები და თუ არის მთელი რიცხვი რა ისეთი, რომ a = bq ჩვენ ამას ვამბობთ იყოფა ბ, ან რომ გაყოფა . ნომერი არის რიგის გამყოფი და ნომერი რიცხვის მრავლობითი რიცხვია . ჩვენ ხშირად მიგვითითებს ის ფაქტი გაყოფა შემდეგნაირად: ½. მაგალითად, 2½4 (წაიკითხეთ 2 გაყოფა 4), 4 არის ორნიშნა რიცხვი, 2 კი 4-ის გამყოფი.

ყოველი დადებითი მთელი რიცხვი რომელიც 1-ზე მეტია, აქვს ორი აშკარა გამყოფი, 1 და თავად . თუ ამ გამყოფებს მიღმა მთელი რიცხვია მოდით ვთქვათ, კიდევ ერთი გამყოფი , 1< < შემდეგ მას ეწოდება რთული რიცხვი. წინააღმდეგ შემთხვევაში მთელი რიცხვი ჰქვია ძირითადი ნომერიან უბრალოდ ბიძაშვილი. მაგალითად, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 არის ძირითადი ნომრები, რადგან მათ აქვთ ზუსტად ორი გამყოფი. მე -6 ნომერს აქვს როგორც გამყოფი 1, 2, 3 და 6 და შესაბამისად მას უწოდებენ რთული რიცხვი. ამიტომ, 1-ის გარდა, ბუნებრივი რიცხვები მათ გამყოფი ქცევასთან დაკავშირებით იყოფა ორ რიცხვულ სიმრავლად: ძირითადი ნომრები და რთული რიცხვები.

როდესაც გავამრავლებთ მთავარ ციფრებს, ვიღებთ რთული რიცხვი და, პირიქით, როდესაც პრემიერ გამყოფებს ვცვლით რიცხვს ჩვენ წარმოვადგენთ როგორც მთავარი ფაქტორების პროდუქტი, ე.ი. მაგალითად, რიცხვი 90-ზე იყოფა 2-ით და ასე ვიღებთ: 90 = 2 x 45. თავის მხრივ 45 იყოფა 3-ით და შემდეგ 45 = 3 x 15. თუ ამ პროცესს გავაგრძელებთ, ვიღებთ: 90 = 2 x 3 x 3 x 5.

საინტერესო კითხვაა, უნიკალურია თუ არა ეს დაშლა. პასუხი დიახ არის, ანუ ნებისმიერი დადებითი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პრემიერ ნომრების პროდუქტად, და ეს წარმოდგენა უნიკალურია, თუ არა ფაქტორების რიგითობით. ამ მიზეზის გამო პრემიერ ნომრებს ხშირად უწოდებენ მთელი რიგის სამშენებლო ბლოკს.

ჩვენ ვხედავთ, რომ არსებობს მრავალი კომპლექტი დამატებით და გამრავლების ოპერაციებთან, სადაც ძირითადი ფაქტორების დაშლა არ არის უნიკალური, ჩვენ დავუბრუნდებით ამ სვეტს სხვა სვეტებში.

მთელი რიცხვების წარმომადგენლობა, როგორც ბიძაშვილების პროდუქტი, დიდი ხანია განიხილებოდა, როგორც აშკარა ფაქტი, მაგრამ მათემატიკოსმა გაუსმა ეს განცხადება აჩვენა თავის ცნობილ ნაშრომში. დისციპლინები Arithmeticae 1801. ეს განცხადება ცნობილია, როგორც ფუნდამენტური არითმეტიკული თეორემა (APT), ან უნიკალური ფაქტორიზაცია.

ეს თეორემა გვიჩვენებს, რომ პრემიერ ნომრები ქმნიან მრავლობითი საფუძველს. ამ ბაზის ზოგიერთი მახასიათებლის ცოდნა ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგან ეს ტოლფასია პრემიერ ციფრების ზოგიერთი თვისების ცოდნისთვის. პირველი კითხვა, რომელიც ჩნდება, უკავშირდება პრემიერ ნომრების უსასრულობას, ანუ არის თუ არა პრემიერ ნომრების უსასრულო რიცხვი? პასუხი დიახ არის და ეს თეორემა აჩვენა ევკლიდმა:

დავუშვათ, რომ ძირითადი ნომრების ნაკრები, P, სასრული იყოს. მოდით r იყოს პრემიერ ნომრების ზუსტი რაოდენობა, ანუ ნაკრების კარდინალობა გვ. ამ შემთხვევაში , სანამ რაც ყველაზე დიდი (და ბოლო) პრემიერ ნომერია. ამრიგად, ხაზს ვუსვამთ ხაზს გვ შეიცავს ყველა არსებულ პირველ ნომერს. განვიხილოთ ახლა ახალი მთელი n = TFA აცხადებს, რომ ეს არ შეიძლება იყოს პირველი ფაქტორი, n = სადაც ბიძაშვილები კომპლექტის ელემენტებია გვ და კ> 1. აქედან გამომდინარეობს ½სად ნაკრების ბიძაშვილია გვ. ამიტომ ზოგისთვის j, სადაც 1 £ j £ r. ამიტომ ½ . ამიტომ ½n ე ½ ; მალე ½n - . მეორეს მხრივ, n - = 1 და ამრიგად ½არა - = 1, ე.ი. ½1პრემიერ ნომრის განმარტების საწინააღმდეგოდ. ეს წინააღმდეგობა გვიჩვენებს, რომ არ არის სასრული კომპლექტი გვ შეიძლება შეიცავდეს ყველა პირველ ნომერს.

პრემიერ ნომრებთან დაკავშირებული კიდევ ერთი ძალიან საინტერესო საკითხი ეხება პრემიერ რიცხვების დაფიქსირების სიხშირეს მათი ბუნებრივი გარეგნობის მიხედვით ციფრების სიმრავლეში. ბუნებრივი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რამდენი პირველყოფილია ბუნებრივ რიცხვებს 1, 2,…, X როდის X ეს დიდი რიცხვია? ეს რიცხვი, რომელზეც ზოგადად დამოკიდებულია X, აღინიშნება p (X), ანუ p (X) არის ბიძაშვილების რაოდენობა ნაკლები ან ტოლი X. მაგალითად, p (4) = 2, p (7) = 4.

პირველი მოსაზრება p- ის სიდიდის შესახებX) როგორც ფუნქცია X მათემატიკოსებმა გაუსმა და ლეგენდრემ დამოუკიდებლად გააკეთეს მე -18 საუკუნის ბოლოს. ვრცელი გამოთვლების საფუძველზე, გაუსმა და ლეგენდრმა გააკეთეს დაშვება, რომ

პ (X) ~ X / ჟურნალი X,

ანუ p (X) დაახლოებით X / ჟურნალი X როდის X ეს ძალიან დიდი ბუნებრივი რიცხვია. ეს მოსაზრება ვარაუდობს, რომ p (X) მიერ X / ჟურნალი X ტენდენცია შეზღუდოს 1, როდის X უსასრულობამდე მიდის. ეს ფორმულირება ცნობილია როგორც Prime Number თეორემა და დამოუკიდებლად აჩვენა 1896 წელს დე ლა ვალემ - პუსინმა და ჰადამარდმა რთული ცვლადი თეორიის მძლავრი ახალი ანალიტიკური მეთოდების გამოყენებით. 1948 წელს ატლე სელბერგმა და პოლ ერდოშმა აჩვენეს კიდევ ერთი დემონსტრაცია რთული ცვლადი თეორიის გამოყენების გარეშე. პრემიერ რიგის თეორემის დემონსტრირებაში ბევრ მათემატიკოსმა შეუწყო ხელი: რიმანი, მერტენსი, ფონ მანგოლდტი, ჰადამარდი, დე ლა ვალე-პუსინი, ცბიბიჩვი და ა.შ. ეს იყო მეცხრამეტე საუკუნის მათემატიკის ერთ – ერთი უდიდესი მიღწევა და საფუძველი ჩაუყარა ანალიტიკური რიცხვების თეორიას.

უკან სვეტები

<