+
მალე

არ არის სახალისო ცარიელი მათემატიკური სამყარო


რამდენადაც წარმოსახვითი და კრეატიული შეიძლება ვიყოთ, ვერ გამოვრიცხავთ სხვა აქსიომების სიმრავლის არსებობას, რომლებიც თავისთავად აღარ შეიცავს რაიმე ნაკრების არსებობის ჰიპოთეზას. ან, სულ მცირე, უფრო მკაცრი რომ იყოს, შეიძლება ითქვას, რომ დღემდე ვერავინ მიაღწია მათემატიკურად მიღწევის საფუძველს სხვა აქსიომების ნაკრებიდან, რომელიც აღარ შეიცავს არსებობის ჰიპოთეზას. მოდით, ნუ გავაგრძელებთ ნაკრებების არარსებობის ამ აგონიას. ჩვენი უძლურების სინამდვილეს ვემშვიდობებით, რომ არაფერი გამოგვიტანოს, მოდით დავრწმუნდეთ იმაში, რომ ამიერიდან არსებობს ნაკრები. ეს უდავო ჭეშმარიტება იქნება ჩვენი ნულოვანი აქსიომა.

გაითვალისწინეთ, რომ, მეორე მხრივ, არ უნდა გადავხედოთ მათემატიკაში მითითებულ სურვილს. ვარაუდი, რომ არსებობს ნაკრები, არ გვაძლევს იმის უფლებას, რომ ვთქვათ, რომ ერთზე მეტი ნაკრები არსებობს. რაიმეს არსებობის შესახებ ყველაზე შეიძლება ითქვას, არის 0, 1, 2 და 3 აქსიომების შესახებ, მხოლოდ Axiom 0 გვარწმუნებს, რომ არის კომპლექტი, მაგრამ ეს არ გვეუბნება რამდენი კომპლექტი არსებობს.

შემდეგ უნდა დავადგინოთ, რა შედეგები მოჰყვება ახლა ამ ოთხივე ღერძისგან და განსაკუთრებით იმ შემთხვევაში, თუ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მათემატიკაში მრავალი ნაკრები არსებობს. გავიხსენოთ აქსიომი 2, რომელმაც თქვა, რომ თუ ადრე არსებული ნაკრები იყო, მაშინ ასევე იქნებოდა კომპლექტი = {x ეკუთვნის : A (x)}, რომელიც შეიძლება გავიგოთ, როგორც ” ქვესათაურია ჩამოყალიბებულია კომპლექტების მიერ x რომელიც ეკუთვნის და ეს აკმაყოფილებს ქონებას ” ახლა ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ ვიფიქროთ უბრალო ქონებაზე A (x): x x.

ეს არის საკუთრება, რომელზეც ჩვენ ვფიქრობთ x აკმაყოფილებს პირობას იყავით განსხვავებული საკუთარი თავისგან. ასე რომ, ჩვენ განსაზღვრავს კომპლექტს = {x ეკუთვნის : A (x)}= {x ეკუთვნის : x ≠ x . თქვენ უკვე გააცნობიერებთ, რომ არ არსებობს კომპლექტი, რომელიც ეკუთვნის ამ კომპლექტს, რადგან არ არსებობს კომპლექტი, რომელიც განსხვავდება საკუთარი თავისგან. ასე რომ, როდესაც ჩვენ ვიფიქრებთ ნაკრებების სიმრავლეების ქვესათაურს რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან, ჩვენ ვფიქრობთ ნაკრებზე ”ბათილად” შემდეგ აღმოვაჩენთ, რომ ჩვენთვის პირველი პრეზენტაცია ზუსტად არის ცარიელი ნაკრები, ანუ, კომპლექტი, რომელსაც აქვს საკუთრება, რომ რაც არ უნდა იყოს მათემატიკური სამყაროს X, X არ ეკუთვნის ცარიელი ნაკრები. მოდით, მოვინათლოთ ეს პირველი ნაკრები, რომელიც არსებობდა Æ. საინტერესოა, რომ ეს ფაქტი ზუსტად პირველი სერიაა, რომლის შესახებაც ჩვენ ვიცნობთ ”შიგნით არაფერი გაუკეთეთ”.

მათემატიკა ასეთია, ის ყოველთვის საოცარია. გსურთ მეტი სიურპრიზები? მოდით ახლა გამოვიტანოთ, რომ იქ არის ცარიელი ნაკრებიდან Æ, უსასრულო კომპლექტი მათემატიკური სამყაროში. იფიქრეთ წყვილის აქსიომა და აქსიომა 3: ასე როგორ Æ არსებობს შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ნაკრები { Æ, Æ} = { Æ}. კიდევ ერთხელ, წყვილის Axiom- ისა და Axiom 3- ის გამოყენებით, გამოვყოფთ, რომ ეს ნაკრები არსებობს {Æ, { Æ}}. ახლა ჩვენ აღარ ვჩერდებით: Axioms 2 და 3 თანმიმდევრულად გამოყენება გვთავაზობს სიმრავლის უსასრულო თანმიმდევრობას: Æ, {Æ}, {Æ, { Æ}}, {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}}, … .ჩვენ მზად ვართ შემდეგი განმარტებისა და აღიარებისთვის: 0 = Æ, 1 = {Æ}, 2 = {Æ, { Æ}}, 3 = {Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}},… თქვენ ახლახანს გაეცანით ცნობილ ”ბუნებრივი რიცხვები”რომლებიც, თავის მხრივ, ახლახან დაიბადნენ და მათემატიკური სამყაროს პირველი მაცხოვრებლები გახდნენ. ასევე გაითვალისწინეთ ის ფაქტი, რომ 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2,… გამოწვევა: წაიკითხეთ ეს სვეტი საგულდაგულოდ და რამდენჯერაც საჭიროა, მანამ სანამ არ დარწმუნდებით, რომ გაიგებთ რა არის "ბუნებრივი რიცხვები". ბოლო გამოწვევა არის ის, რომ მას ვთხოვოთ იმის დემონსტრირება, რომ ბუნებრივი რიცხვები ერთმანეთში ორადაა. ასე რომ, არსებობს უსასრულო მათემატიკური ობიექტები!

უკან სვეტები

<